Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，sin$\frac{x}{2}$），且x∈[0，$\frac{π}{2}$]，若f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$-λ|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的最小值为-$\frac{3}{2}$，则λ=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 运用向量数量积的坐标表示和向量的平方即为模的平方，结合二倍角公式，化简f（x），可得f（x）=2cos²$\frac{x}{2}$-2λcos$\frac{x}{2}$-1，令t=cos$\frac{x}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤t≤1，即有y=2t²-2λt-1=2（t-$\frac{1}{2}$λ）²-1+$\frac{1}{2}$λ²，讨论对称轴和区间[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]的关系，结合单调性，可得最小值，解方程可得所求值．

解答 解：$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，sin$\frac{x}{2}$），
可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=cos$\frac{3}{2}$xcos$\frac{x}{2}$+sin$\frac{3}{2}$xsin$\frac{x}{2}$=cos（$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2}$x）=cosx，
|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=cos²$\frac{3}{2}$x+sin²$\frac{3}{2}$x+cos²$\frac{x}{2}$+sin²$\frac{x}{2}$+2cosx
=2+2cosx=2•2cos²$\frac{x}{2}$，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
即|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2cos$\frac{x}{2}$，
则f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$-λ|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=cosx-2λcos$\frac{x}{2}$
=2cos²$\frac{x}{2}$-2λcos$\frac{x}{2}$-1，
t=cos$\frac{x}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤t≤1，
即有y=2t²-2λt-1=2（t-$\frac{1}{2}$λ）²-1+$\frac{1}{2}$λ²，
当$\frac{1}{2}$λ≥1即λ≥2时，函数y在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]递减，可得最小值为1-2λ，
由1-2λ=-$\frac{3}{2}$，解得λ=$\frac{5}{4}$＜2，不成立；
当$\frac{1}{2}$λ≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$即λ≤$\sqrt{2}$时，函数y在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]递增，可得最小值为-$\sqrt{2}$λ，
由-$\sqrt{2}$λ=-$\frac{3}{2}$，解得λ=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$＜$\sqrt{2}$，成立；
当$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜$\frac{1}{2}$λ＜1，即$\sqrt{2}$＜λ＜2时，函数的最小值为-1+$\frac{1}{2}$λ²=-$\frac{3}{2}$，
可得λ∈∅．
综上可得，λ=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查向量数量积的坐标表示和性质：向量的平方即为模的平方，考查三角函数的恒等变换，运用换元法和二次函数的最值的求法，以及分类讨论思想方法，属于中档题．