Question

18．若函数f（x）=4x²+2x-2+me^x有两个不同的零点，则实数m取值范围为（　　）

• A． [0，1）
• B． [0，2）∪{-$\frac{18}{{e}^{2}}$}
• C． （0，2）∪{-$\frac{18}{{e}^{2}}$}
• D． [0，2$\sqrt{e}$）∪{-$\frac{18}{{e}^{2}}$}

Answer 1

分析 利用函数与方程的关系转化为两个函数交点个数问题，利用参数分离法进行分离函数，然后构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：由f（x）=4x²+2x-2+me^x=0得-me^x=4x²+2x-2，得m=-$\frac{4{x}^{2}+2x-2}{{e}^{x}}$，
设h（x）=-$\frac{4{x}^{2}+2x-2}{{e}^{x}}$，
则h′（x）=-$\frac{（8x+2）{e}^{x}-（4{x}^{2}+2x-2）{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{4{x}^{2}-6x-4}{{e}^{x}}$=$\frac{2（x-2）（2x+1）}{{e}^{x}}$
由h′（x）＞0得x＞2或x＜$-\frac{1}{2}$，此时函数递增，
由h′（x）＜0得$-\frac{1}{2}$＜x＜2，此时函数递减，
即当x=2时，函数取得极小值h（2）=-$\frac{4×4+2×2-2}{{e}^{2}}$=-$\frac{18}{{e}^{2}}$，
当x=-$\frac{1}{2}$时，函数取得极大值h（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{4×\frac{1}{4}-2×\frac{1}{2}-2}{{e}^{-\frac{1}{2}}}$=2$\sqrt{e}$，
当x→+∞时，h（x）＜0，当x→-∞时，h（x）→-∞，
则函数h（x）对应的图象如图：
若函数f（x）=4x²+2x-2+me^x有两个不同的零点，
等价为m=-$\frac{4{x}^{2}+2x-2}{{e}^{x}}$有两个不同的根，
则0≤m＜2$\sqrt{e}$或m=-$\frac{18}{{e}^{2}}$，
即实数m的取值范围是[0，2$\sqrt{e}$）∪{-$\frac{18}{{e}^{2}}$}，
故选：D

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据函数零点个数转化为方程根的个数以及两个函数的交点个数问题，利用参数分离法，以及构造分式，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值，结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．