Question

11．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=AC=3，BC=2，D是BC的中点，F是CC₁上一点，且CF=2，E是AA₁上一点，且AE=1．
（1）求证：C₁E∥平面ADF；
（2）求证：B₁F⊥平面ADF；
（3）求三棱锥D-ABF的体积．

Answer 1

分析 （1）证明AEC₁C是平行四边形，可得C₁E∥AF，利用线面平行的判定定理证明C₁E∥平面ADF；
（2）证明AD⊥B₁F，B₁F⊥FD，利用线面垂直的判定定理证明：B₁F⊥平面ADF；
（3）利用等体积方法求三棱锥D-ABF的体积．

解答 （1）证明：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=3，CF=2，E是AA₁上一点，且AE=1，
∴AEC₁C是平行四边形，
∴C₁E∥AF，
∵C₁E?平面ADF，AF?平面ADF，
∴C₁E∥平面ADF；
（2）证明：∵AB=AC，D为BC的中点
∴AD⊥BC，又直三棱柱中：BB₁⊥底面ABC，AD?底面ABC，∴AD⊥BB₁
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∵B₁F?平面BCC₁B₁，∴AD⊥B₁F，
在矩形BCC₁B₁中：C₁F=CD=2，CF=C₁B₁=1，
∴△B₁C₁F≌△FCD，
∴∠CFD=∠C₁B₁F，
∴∠B₁DF=90°，即B₁F⊥FD，
∵AD∩FD=D，∴B₁F⊥平面AFD；
（3）解：三棱锥D-ABF的体积=三棱锥F-ABD的体积=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{9-1}×2$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查线面平行、垂直的判定定理，考查等体积法求三棱锥的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．