Question

5．已知动圆M过定点F（1，0），且与直线x=-1相切．
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（2）过点F且斜率为2的直线交轨迹C于S，T两点，求弦ST的长度；
（3）已知点B（-1，0），设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的定义和题设中的条件可知点M是以F（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，焦点到准线的距离p=2，进而求得抛物线方程．
（2）直线方程为y=2（x-1），代入y²=4x，可得x²-3x+1=0，利用抛物线的定义，即可求弦ST的长度；
（3）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由题意可知y₁+y₂≠0，y₁y₂＜0．利用角平分线的性质可得k_PB=-k_QB，可化为化为4+y₁y₂=0．又直线PQ的方程代入化简整理为y（y₁+y₂）+4=4x，令y=0，则x=1即可得到定点．

解答 （1）解：由已知，点M到直线x=-1的距离等于到点（1，0）的距离，所以点M是以F（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，焦点到准线的距离p=2，
∴点M的轨迹方程为y²=4x；
（2）解：直线方程为y=2（x-1），代入y²=4x，可得x²-3x+1=0，
设S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），则x₁+x₂=3，∴|ST|=x₁+x₂+2=5；
（3）证明：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由题意可知y₁+y₂≠0，y₁y₂＜0．
∵x轴是∠PBQ的角平分线，∴k_PB=-k_QB，
∴化为4+y₁y₂=0．
直线PQ的方程为y-y₁=$\frac{4}{{y}_{2}+{y}_{1}}$（x-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$），
化为y（y₁+y₂）+4=4x，令y=0，则x=1，
∴直线PQ过定点（1，0）

点评 本题综合考查了抛物线的定义与标准方程、直线与抛物线相交问题、直线方程及过定点问题、斜率计算公式等基础知识，考查了推理能力、数形结合的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力，属于中档题．