Question

已知函数f（x）=x+（a＞0）．
（Ⅰ）求证：f（x）在区间（-∞，-）上是增函数；
（Ⅱ）若f（x）在区间[1，2]上的最小值为5，求a的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）可得x≠0，求导数可得f′（x）=1-，
由f′（x）=1-＞0可得x＞，或x＜-
同理由f′（x）＜0可得-＜x＜，
故函数在区间（-∞，-）上是增函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数在区间（0，）单调递减，
在（，+∞）单调递增，
（1）当≤1时，函数在区间[1，2]上单调递增，
故在x=1处取最小值，即1+a=5，解得a=4，舍去；
（2）当1＜＜2时，函数在区间（1，）单调递减，
在（，2）单调递增，故在x=处取最小值，
可得=5，解之可得a=∉（1，4），应舍去；
（3）当≥2时，函数在区间[1，2]上单调递间，
故在x=2处取最小值，即2+=5，解得a=6，符合题意
综上可得a=6
分析：（Ⅰ）求导数令f′（x）=1-＞0可得x＞，或x＜-，可得结论；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数在区间（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增，分类讨论（1）≤1，（2）1＜＜2，（3）≥2，分别可得最小值，可得关于a的方程，结合a的范围，解之可得．
点评：本题考查函数的单调性的判断与证明，涉及分类讨论的思想，属中档题．