Question

用适当方法证明：
（1）已知：a＞0，b＞0，求证：

a

b

+

b

a

≥

a

+

b

；
（2）若x，y∈R，x＞0，y＞0，且x+y＞2．求证：

1+x

y

和

1+y

x

中至少有一个小于2．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：（1）利用基本不等式即可证明；
（2）用反证法证明其否定不成立，以此来证明结论成立．

解答： 证明：（1）∵a＞0，b＞0，
∴

a

b

+

b

≥2

a

，

b

a

+

a

≥2

b

，
∴

a

b

+

b

a

≥

a

+

b

；
（2）假设

1+x

y

和

1+y

x

都大于或等于2，
即

1+x

y

≥2且

1+y

x

≥2，
∵x，y∈R⁺，故可化为1+x≥2y且1+y≥2x，
两式相加，得x+y≤2，
与已知x+y＞2矛盾．
∴假设不成立，即原命题成立．

点评：对于一些条件相对较少或者证明时需要分类讨论的题型，最好试试用反证法能否证明问题．