Question

已知偶函数y=f（x）满足：当x≥2时，f（x）=（x-2）（a-x），a∈R，当x∈[0，2）时，f（x）=x（2-x）
（Ⅰ）求f（x）表达式；
（Ⅱ）若直线y=1与函数y=f（x）的图象恰有两个公共点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）试讨论当实数a、m满足什么条件时，直线y=m和函数y=f（x）的图象恰有k个公共点（k≥3），
且这k个公共点均匀分布在直线y=m上．（不要求过程）

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）先设x≤-2，则-x≥2，再设，设x∈（-2，0），则-x∈[0，2），再利用函数是偶函数可求；
（Ⅱ）分a＞2与a≤2进行讨论可求；
（Ⅲ）结合函数的图象进行讨论，综合可得答案．

解答： （Ⅰ）．设x≤-2，则-x≥2，
∴f（-x）=（-x-2）（a+x）
又∵f（x）偶函数
∴f（x）=f（-x）
∴f（x）=（x+a）（-x-2）=-（x+2）（x+a），
设x∈（-2，0），则-x∈[0，2），
∴f（-x）=x（2+x）=f（x），
故f(x)=

(x-2)(a-x)，x≥2 x(2-x)，0≤x＜2 -x(2+x)，-2＜x＜0 -(x+2)(a+x)，x≤-2

（Ⅱ）①a＞2时x≥2，f（x）=（x-2）（a-x），
f(x)max=f(1+

a

2

)=(

a

2

-1)2，
∴(

a

2

-1)2＜1，
∴0＜a＜4，
∴2＜a＜4
②a≤2时，都满足综上，
所以 a∈（-∞，4）；
（Ⅲ）.当a≤2时，m=

3

4

或m=0；
当2＜a＜2+

3

时，m=

3

4

；此时f(

2+a

2

)＜

3

4

当a=4时，m=0，m=

3

4

或m=1；
当a＞

10+ 112

3

时，m=

3a2-20a+12

16

．此时m=f(

2+a

4

)＞1．

点评：本题考查函数的性质，解析式的求解及分类讨论的数学思想，属于难题．