Question

如图是多面体ABC-A₁B₁C₁和它的三视图．

（1）若点E是线段CC₁上的一点，且CE=2EC₁，求证：BE⊥平面A₁CC₁；
（2）求二面角C₁-A₁C-A的余弦值．

Answer 1

考点：由三视图求面积、体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由题意知AA₁，AB，AC两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面A₁CC₁的法向量，进而根据BE的方向向量与平面A₁CC₁的法向量平行，得到答案．
（2）平面C₁A₁C的法向量为

m

=（1，-1，1）而平面A₁CA的一个法向量为

n

=（1，0，0），代入向量夹角公式，可得答案．

解答： 解：（1）由题意知AA₁，AB，AC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），A₁（0，0，2），B（-2，0，0），C（0，-2，0），C₁（-1，-1，2），
则

CC1

=（-1，1，2），

A1C1

=（-1，-1，0），

A1C

=（0，-2，-2）．（1分）
设E（x，y，z），则

CE

=（x，y+2，z），

EC1

=（-1-x，-1-y，2-z）．（3分）
∵|CE|=2|EC₁|
∴

CE

=2

EC1

，得E（-

2

3

，-

4

3

，

4

3

）
∴

BE

=（

4

3

，-

4

3

，

4

3

），
设平面C₁A₁C的法向量为

m

=（x，y，z），则由

m• A1C1 =0 m• A1C =0

，
得

-x-y=0 -2y-2z=0

，
取x=1，则y=-1，z=1．故

m

=（1，-1，1），
∵

BE

=

4

3

m

，
∴BE⊥平面A₁CC₁．（6分）
（2）由（1）知，平面C₁A₁C的法向量为

m

=（1，-1，1）而平面A₁CA的一个法向量为

n

=（1，0，0），
则cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

1

3

=

3

3

，故二面角C₁-A₁C-A的余弦值-

3

3

．（12分）

点评：本题考查的知识点三视图，线面垂直及二面角，其中建立空间坐标系，将空间线面关系及夹角问题转化为向量问题是解答的关键．