Question

已知等差数列数列{a_n}的前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，公比是q，且满足：a₁=3，b₁=1，b₂+S₂=12，S₂=b₂q．
（1）求a_n与b_n；
（2）设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得

q+3+a2=12 3+a2=q2

，且q＞0，由此能求出a_n=3n.bn=3n-1．
（2）由c_n=a_nb_n=3n•3^n-1=n•3ⁿ．利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）由已知得

q+3+a2=12 3+a2=q2

，且q＞0，
解得a₂=6，q=3，∴d=6-3=3，
∴a_n=3n，bn=3n-1．
（2）c_n=a_nb_n=3n•3^n-1=n•3ⁿ．
∴T_n=1•3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，①
3T_n=1•3²+2•3³+3•3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹，②
②-①，得-2Tn=3+32+…+3n-n•3ⁿ⁺¹，
=

3(1-3n)

1-3

-n•3n+1
=

3n+1-3

2

-n•3n+1．
∴T_n=

3

4

(2n•3n-3n+1)=

3

4

[(2n-1)•3n+1]．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．