Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，公比为q，且满足a₁=3，b₁=9，
a₂+b₂=33，S₃=2q²．
（1）求a_n与b_n
（2）设C_n=

3

anlog3bn

，记数列{c_n}的前n项和为T_n，若对于任意的n∈N^*，T_n≤λ（n+4）恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，依题意可求得q=3，d=3，从而可求得a_n与b_n；
（2）由c_n=

3

anlog3bn

得，c_n=

3

3nlog33n+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用列项相消法可求得T_n=1-

1

n+1

，通过等价转化思想的运用，对于任意的n∈N^*，T_n≤λ（n+4）恒成立?λ≥

n

(n+1)(n+4)

对于任意的n∈N^*恒成立，利用基本不等式可求得

n

(n+1)(n+4)

=

1

n+ 4 n +5

≤

1

9

，从而可得实数λ的取值范围．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则

a1+d+b1q=33 3(2a1+2d) 2 =2q2

，整理得

d+9q=30 9+3d=2q2

…3分
消去d得：2q²+27q-99=0，
解得q=3或q=-

33

2

（不合题意，舍去）…5分
当q=3时，d=3，∴a_n=a₁+（n-1）d=3n…6分
b_n=b₁q^n-1=3ⁿ⁺¹…7分
由c_n=

3

anlog3bn

得，c_n=

3

3nlog33n+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

…8分
T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

…10分
对于任意的n∈N^*，T_n≤λ（n+4）恒成立?

n

n+1

≤λ（n+4）?λ≥

n

(n+1)(n+4)

对于任意的n∈N^*恒成立，..11分
∵

n

(n+1)(n+4)

=

n

n2+5n+4

=

1

n+ 4 n +5

…12分
而n+

4

n

+5≥2

n• 4 n

+5=9，当且仅当n=

4

n

，即n=2时等号成立…13分
∴

1

n+ 4 n +5

≤

1

9

…14分
∴λ≥

1

9

，即实数λ的取值范围是[

1

9

，+∞）…15分

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式的应用，突出考查方程思想、等价转化思想的运用，考查裂项相消法、基本不等式的综合应用，属于难题．