Question

已知函数y=f（x）的定义域为R，且当x∈R时，f（m-x）+f（m+x）=2n恒成立，
（1）求证：y=f（x）的图象关于点（m，n）对称；
（2）求函数f（x）=x³+2x²图象的一个对称点．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用定义来证明即可．
（2）因为点A（m，n）是f（x）图象的一个对称点的充要条件是f（m-x）+f（m+x）=2n，x∈R．可设A（m，n）为f（x）的一个对称点则得到f（m-x）+f（m+x）=2n成立即可解出m和n；

解答： 证明：（1）f（m-x）+f（m+x）=2n恒成立
设（a，b）是函数y=f（x）图象上任意一点，该点关于点（m，n）对称的点的坐标是（c，d），那么点（m，n）是点（a，b）与点（c，d）的中点
即：a+c=2m，b+d=2n，
令x₀=m-a，则a=m-x₀，c=m+x₀，
点（a，b）在函数y=（x）的图象上，那么：b=f（a）=f（m-x₀），
所以，d=2n-b=2n-f（m-x₀）=f（m+x₀）=f（c），
即点（c，d ）也在函数y=f（x）的图象上则，
故函数y=f（x）的图象关于点（m，n）对称．（2）解：设A（m，n）为函数f（x）=x³+2x²图象的一个对称点，则f（m-x）+f（m+x）=2n，对于x∈R恒成立．即（m-x）³+2（m-x）²+（m+x）³+2（m+x）²=2n对于x∈R恒成立，
∴（6m+4）x²+（2m³+4m²-2n）=0
由

6m+4=0 2m3+4m2-2n=0

解得：

m=- 2 3 n= 16 27

故函数f（x）图象的一个对称点为(-

2

3

，

16

27

)

点评：本题主要考查了函数的对称性，灵活利用f（m-x）+f（m+x）=2n的对称中心为（m．n），属于基础题．