Question

如图在四锥P-ABCD中，CD⊥平面PAD，CD∥AB，AB=2CD，PD=AD，E为PB中点．证明：
（Ⅰ）CE∥平面PAD．
（Ⅱ）PA⊥平面CDE．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取PA的中点F，先通过证明出CDEF为平行四边形，进而证明出CE∥DF，最后通过线面平行的判定定理证明出CE∥平面PAD．
（Ⅱ）先分别证明出CD⊥PA，CE⊥PA，最后利用线面垂直的判定定理证明出PA⊥平面CDE．

解答： 证明：（Ⅰ）取PA的中点F，连接DF，EF，
∵E时PB的中点，
∴在△PAB中有EF∥AB，且EF=

1

2

AB．
又CD∥AB，AB=2CD，
∴CD∥EF，CD=EF，
∴四边形CDEF为平行四边形，
∴CE∥DF，
∵CE?平面PAD，DF?平面PAD，
∴CE∥平面PAD．
（Ⅱ）∵CD⊥平面PAD，PA?平面PAD，
∴CD⊥PA，
∵△PAD中，PD=AD，F为PA的中点，
∴DF⊥PF，
∵CE∥DF，
∴CE⊥PA，
∵CE∩CD=C，CE?平面CDE，CD?平面CDE，
∴PA⊥平面CDE．

点评：本题主要考查了线面垂直和线面平行的判定定理的应用．一般规律是从低维到高维，即先证明线线垂直或平行．