Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²，等比数列{b_n}的前n项和为M_n，且M_n=2ⁿ-t．
（1）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}中c_2k-1=k•b_k，c_2k=a_2k-1，其中k=1，2，3，…，求数列{c_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n=n²，得S_n-1=（n-1）²（n≥2），两式相减可得a_n，注意检验n=1时情形；由M_n=2ⁿ-t，得b₁、b₂、b₃，根据等比中项可得关于t的方程，解出t可得b_n；
（2）利用分组求和及错位相减法可求得T_2n．

解答： 解：（1）由S_n=n²，①得S_n-1=（n-1）²，（n≥2）②
①-②得，a_n=2n-1（n≥2）；
又a₁=S₁=1适合上式，
∴a_n=2n-1．
由M_n=2ⁿ-t，得b₁=2-t，b₂=M₂-M₁=2，b₃=M₃-M₂=4，
∵{b_n}为等比数列，∴2²=4（2-t），
解得t=1，
∴bn=2n-1．
（2）c_2k-1=k•b_k=k•2^k-1，c_2k=a_2k-1=2（2k-1）-1=4k-3，
∴T_2n=（c₁+c₃+c₅+…+c_2n-1）+（c₂+c₄+c₆+…+c_2n）
=（1•1+2•2+3•2²+…+n•2^n-1）+[1+5+9+…+（4n-3）]
令S=1•1+2•2+3•2²+…+n•2^n-1③，
则2S=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ④，
③-④得，-S=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
∴S=（n-1）•2ⁿ+1．
∴T_2n═（n-1）•2ⁿ+1+

n(4n-2)

2

=（n-1）•2ⁿ+1+2n²-n．

点评：该题考查由数列递推式求数列通项、数列求和，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．