Question

已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为

1

2

，右焦点到右顶点的距离为1．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：mx+y+1=0与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数m，使|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

||成立？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据离心率为

1

2

，右焦点到右顶点的距离为1，可得

e= c a = 1 2 a-c=1.

，即可求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）依题意，若|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|，平方得

OA

•

OB

=0．把y=-mx-1代入椭圆C：3x²+4y²=12中，整理得（3+4m²）x²+8mx-8=0，利用韦达定理，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），半焦距为c．
依题意

e= c a = 1 2 a-c=1.

解得c=1，a=2，所以b²=a²-c²=3．
所以椭圆C的标准方程是

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）不存在实数m，使|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|，证明如下：
把y=-mx-1代入椭圆C：3x²+4y²=12中，整理得（3+4m²）x²+8mx-8=0．
由于直线l恒过椭圆内定点（0，-1），所以判别式△＞0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

8m

4m2+3

，x1•x2=

-8

4m2+3

．
依题意，若|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|，平方得

OA

•

OB

=0．
即x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（-mx₁-1）•（-mx₂-1）=0，
整理得（m²+1）x₁x₂+m（x₁+x₂）+1=0，
所以（m²+1）

-8

4m2+3

-

8m2

4m2+3

+1=0，
整理得m2=-

5

12

，矛盾．
所以不存在实数m，使|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|．

点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生的计算能力，属于中档题．