Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=

1

2

AA₁，D是棱AA₁的中点．
（Ⅰ）证明：C₁D⊥平面BDC；
（Ⅱ）设AA₁=2，求几何体C-BC₁D的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）证明DC₁⊥BC，DC₁⊥DC，利用线面垂直的判定定理，即可证明C₁D⊥平面BDC；
（Ⅱ）利用V_C-BC1D=V_B-CC1D，求几何体C-BC₁D的体积．

解答： （Ⅰ）证明：由题设知BC⊥CC₁，BC⊥AC，CC₁∩AC=C，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，又DC₁?平面ACC₁A₁，
∴DC₁⊥BC．
由题设知∠A₁DC₁=∠ADC=45°，
∴∠CDC₁=90°，即DC₁⊥DC，
又DC∩BC=C，
∴C₁D⊥平面BDC；（6分）
（2）解：∵ACB=90°，AC=BC=

1

2

AA₁，D是棱AA₁的中点，AA₁=2，
∴V_C-BC1D=V_B-CC1D=

1

3

•

1

2

•2•1•1=

1

3

．（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，三棱锥体积的计算，着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱锥的体积，考查分析表达与运算能力，属于中档题．