Question

4个男同学和3个女同学站成一排
（1）甲乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不同的排法？
（2）甲乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？
（3）女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？（3个女生身高互不相等）

Answer 1

考点：计数原理的应用

专题：应用题,排列组合

分析：（1）因为要求甲乙之间恰有3人，可以先选3人放入甲乙之间，再把这5人看做一个整体，与剩余的2个元素进行全排列，注意甲乙之间还有一个排列；
（2）先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，由于甲乙要相邻，故再把甲、乙排好，最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空档中；
（3）因为女同学从左往右按从高到低排，所以3个同学的顺序是确定的，只需先不考虑女同学的顺序，把7人进行全排列，再除以女同学的一个全排列即可得到结果．

解答： 解：（1）甲乙两人先排好，有

A

2 2

种排法，再从余下的5人中选3人排在甲乙两人中间，有

A

3 3

种排法；这时把已排好的5人看作一个整体，与最后剩下得2人再排，又有

A

3 3

种排法这时共有

A

2 2

A

3 3

A

3 3

=720种不同排法．
（2）先排甲、乙和丙3人以外的其他4人有

A

4 4

种排法，由于甲乙要相邻，故再把甲、乙排好，有

A

2 2

种排法，最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空档中，有

A

2 5

种排法，共有

A

4 4

A

2 2

A

2 5

=960（种）不同排法．
（3）从7个位置中选出4个位置把男生排好，有

A

4 7

种排法；然后再在余下的3个空位置中排女生，由于女生要按高矮排列，故仅有一种排法，共有

A

4 7

=840种不同排法．

点评：本题主要考查排列组合的实际应用，本题涉及到相邻问题，顺序确定问题，本题解题的关键是对于有限制元素的问题的解法，本题是一个中档题目