Question

已知函数f（x）的定义域为[-1，1]，若对于任意的x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，有f（x）＞0．
（1）证明：f（x）为奇函数；
（2）证明：f（x）在[-1，1]为单调递增函数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数奇偶性的判断

专题：导数的综合应用

分析：（1）先利用特殊值法，求证f（0）=0，令y=-x即可求证；（2）由（1）得f（x）为奇函数，f（-x）=-f（x），利用定义法进行证明；

解答： 解：（1）令x=y=0，∴f（0）=0，
令y=-x，f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数
（2）∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数；
令-1≤x₁＜x₂≤1，
则有f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x）在[-1，1]上为单调递增函数；

点评：考查抽象函数及其应用，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，并根据函数的单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，在转化过程中一定注意函数的定义域．