Question

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞）且对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0，f（4）=1
（1）求f（1）及f(

1

16

)；
（2）解不等式f（x）+f（x-3）≤1．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），令x=4，y=1，即可求出f（1）的值；令x=4，y=4，代入求得，即可求得f(

1

16

)的值；
（2）根据当x＞1时，f（x）＞0，判断函数的单调性，把f（x）+f（x-3）≤1化为f[x（x-3）]≤1=f（4），根据单调性，得到不等式解得即可．

解答： 解：（1）令x=4，y=1，
则f（4）=f（4×1）=f（4）+f（1）．
∴f（1）=0．
再令x=4，y=4得
f（16）=f（4×4）=f（4）+f（4）=2，
f（1）=f（16×

1

16

）=f（

1

16

）+f（16）=0，
故f（

1

16

）=-2．
（2）设x₁，x₂＞0且x₁＞x₂，于是f（

x1

x2

）＞0，
∴f（x₁）=f（

x1

x2

•x2）=f（

x1

x2

）+f（x₂）＞f（x₂）．
∴f（x）为x∈（0，+∞）上的增函数．
又∵f（x）+f（x-3）=f[x（x-3）]≤1=f（4），
∴

x＞0 x-3＞0 x(x-3)≤4

∴3＜x≤4．
∴原不等式的解集为{x|3＜x≤4}．

点评：本题考查抽象函数及其应用，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，并根据函数的单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，在转化过程中一定注意函数的定义域．解决抽象函数的问题一般应用赋值法．