Question

在无穷数列{a_n}中，a₁=1，对于任意n∈N^*，都有a_n∈N^*，a_n＜a_n+1．设m∈N^*，记使得a_n≤m成立的n的最大值为b_m．
（Ⅰ）设数列{a_n}为1，2，4，10，…，写出b₁，b₂，b₃的值；
（Ⅱ）若{a_n}是公差为2的等差数列，数列{b_m}的前m项的和为S_m，求使得S_m＞2014成立的m的最小值；
（Ⅲ）设a_p=q，a₁+a₂+…+a_p=A，b₁+b₂+…+b_q=B，请你直接写出B与A的关系式，不需写推理过程．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据使得a_n≤m成立的n的最大值为b_m，即可写出b₁，b₂，b₃的值；
（Ⅱ）由a_n=2n-1≤m，得n≤

m+1

2

．根据b_m的定义，当m=2k-1时，b_m=k；当m=2k时，b_m=k，k∈N^*．若m=2k-1，S_m=b₁+b₂+…+b_m=2（1+2+3+…+k-1）+k=k²，由k²＞2014的k的最小值为45，得m的最小值为89；若m=2k，S_m=b₁+b₂+…+b_m=2（1+2+3+…+k）=k（k+1），由k（k+1）＞2014的k的最小值为45，得m的最小值为90．所以m的最小值为89．
（Ⅲ）由a_p=q，a₁+a₂+…+a_p=A，b₁+b₂+…+b_q=B，利用b_m的定义能推导出B=p（q+1）-A．

解答： （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）∵数列{a_n}为1，2，4，10，…，
使得a_n≤m成立的n的最大值为b_m．
a_n≤1，则b₁=1，a_n≤2，则b₂=2，a_n≤3，则b₃=2．…（3分）
（Ⅱ）∵{a_n}是公差为2的等差数列，a₁=1，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
由a_n=2n-1≤m，得n≤

m+1

2

．
根据b_m的定义，当m=2k-1时，b_m=k；当m=2k时，b_m=k，k∈N^*．
①若m=2k-1，S_m=b₁+b₂+…+b_m=b₁+b₂+b₃+…+b_2k-1
=2（1+2+3+…+k-1）+k=k²，
令k²＞2014，由k∈N^*，满足k²＞2014的k的最小值为45，
则m的最小值为89．…（6分）
②若m=2k，S_m=b₁+b₂+…+b_m=b₁+b₂+b₃+…+b_2k
2（1+2+3+…+k）=k（k+1），
令k（k+1）＞2014，
由k∈N^*满足k（k+1）＞2014的k的最小值为45，
则m的最小值为90，…（9分）
由①②知满足S_m＞2014的m的最小值为89．…（10分）
（Ⅲ）∵a_p=q，a₁+a₂+…+a_p=A，b₁+b₂+…+b_q=B，
∴B=p（q+1）-A．…（14分）

点评：本题考查等比数列的性质，考查学生对题意的理解，考查学生分析解决问题的能力，有难度．