Question

集合M={1，2…9}中抽取3个不同的数构成集合{a₁，a₂，a₃}
（1）对任意i≠j，求满足|a_i-a_j|≥2的概率；
（2）若a₁，a₂，a₃成等差数列，设公差为ξ（ξ＞0），求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,等差数列的性质,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（1）先求出M有9个元素，抽取3个元素的种数，在分类求出|a_i-a_j|≥2的种数，根据概率公式计算即可．
（2）结合变量对应的事件和等差数列，写出变量的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）M有9个元素，抽取3个元素，有

C

3 9

=84种，
对任意的i≠j，i，j∈{1 2 3} 满足|ai-aj|≥2的取法：
①最小取1的：

C

2 6

=15种，
②最小取2的：

C

2 5

=10种，
③最小取3的：

C

2 4

=6种，
④最小取4的：

C

2 3

=3种，
⑤最小取5的：

C

2 2

=1种，
故共有15+10+6+3+1=35种，
故满足|a_i-a_j|≥2的概率为

35

84

=

5

12

；
（2）∵若a₁，a₂，a₃成等差数列，设公差为ξ（ξ＞0），则ξ=1，2，3，4，
ξ=1即三个连续的数，有7种，ξ=2即三个连续的奇数或偶数，有5种，．ξ=3，有（1，4，7），）2，5，8），（3，6，9）3种，ξ=4只有1种（1，5，9），
故成等差数列的一共有7+5+3+1=16．
则P（ξ=1）=

7

16

，则P（ξ=2）=

5

16

，则P（ξ=3）=

3

16

，P（ξ=4）=

1

16

，
分布列为：

ξ	1	2	3	4
P	7 16	5 16	3 16	1 16

故E（（ξ）=1×

7

16

+2×

5

16

+3×

3

16

+4×

1

16

=

15

8

．

点评：本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望，以及古典概型的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力．