Question

设f（x）=-x³+x²+2ax．
（1）若f（x）在区间（

3

4

，+∞）上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；
（2）若函数g（x）=f（x）-2ax+a有且只有一个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由f′（x）=-3x²+2x+2a，得存在x₀∈（

3

4

，+∞）使f′（x₀）＞0，从而f′（

3

4

）＞0，解出即可；
（2）由g′（x）=-3x²+2x，得x=0时g（x）有极小值=g（0）=a； x=

2

3

时g（x）有极大值=g（

2

3

）=a+

4

27

．从而g（0）=a＞0，或g（

2

3

）=a+

4

27

＜0．

解答： 解：（1）∵f′（x）=-3x²+2x+2a，
而f（x） 在区间（

3

4

，+∞）上存在单调递增区间．
∴存在x₀∈（

3

4

，+∞）使f′（x₀）＞0，
又二次函数f′（x）的对称轴为x=

1

3

，
则f′（x）在（

3

4

，+∞）上递减
∴f′（

3

4

）＞0，
即-3×

9

16

+2×

3

4

+2a＞0，
故a＞

3

32

．
（2）∵g（x）=f（x）-2ax+a=-x³+x²+a，
∴g′（x）=-3x²+2x=x（-3x+2）
∴x∈（0，

2

3

）时g′（x）＞0，g（x）单调递增；
x∈（-∞，0）或（

2

3

，+∞）时g′（x）＜0，g（x）单调递减．
∴x=0时g（x）有极小值=g（0）=a；
 x=

2

3

时g（x）有极大值=g（

2

3

）=a+

4

27

．
∵函数g（x）=f（x）-2ax+a有且只有一个零点，
∴g（0）=a＞0，或g（

2

3

）=a+

4

27

＜0
故：a＜-

4

27

 或a＞0．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，是一道综合题．