Question

已知单位圆上两点P、Q关于直线y=x对称，且射线OP为终边的角的大小为x．另有两点M（a，-a）、N（-a，a），且f（x）=

MP

•

NQ

．
（1）当x=

π

12

时，求

PQ

的长及扇形OPQ的面积；
（2）当点P在上半圆上运动时，求函数f（x）的表达式；
（3）若函数f（x）最大值为g（a），求g（a）．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,任意角的三角函数的定义,单位圆与周期性

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）当x=

π

12

时，直接利用扇形的弧长公式求

PQ

的长利用扇形的面积公式求解扇形OPQ的面积；
（2）P（cosx，sinx），Q（sinx，cosx）．直接利用数量积求出函数f（x）的表达式；
（3）转化函数f（x）的表达式，利用换元法，求解函数的最大值为g（a）．

解答： 解：（1）x=

π

12

时，

PQ

的长为

π

2

-

π

12

×2=

π

3

．…（1分）
扇形OPQ的面积 

1

2

×1×

π

3

=

π

6

．…（2分）
（2）P（cosx，sinx），Q（sinx，cosx）.

MP

=(cosx-a，sinx+a)，

NQ

=(sinx+a，cosx-a)，…（3分）
f(x)=

MP

•

NQ

=(cosx-a)(sinx+a)+(sinx+a)(cosx-a)=2（cosx-a）（sinx+a），其中x∈[0，π]．…（5分）
（3）f（x）=2（cosx-a）（sinx+a）=2sinxcosx-2a（sinx-cosx）-2a²，
令t=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)，x∈[0，π]，t∈[-1，

2

]，
∴f（x）=-t²-2at-2a²+1
t∈[-1，

2

]，
①当-

2

≤a≤1时，g（a）=1-a²；
②当a＞1时，g（a）=2a-a²；
③当a＜-

2

时，g（a）=-1-2

2

a-2a²；

点评：本题考查两角和与差的三角函数，向量的数量积的应用，换元法求解函数的最值的方法，考查计算能力．