Question

已知函数f（x）=x³-x²，x∈R
（1）若正数m，n满足m•n＞1，证明：f（m），f（n）至少有一个不小于零；
（2）若a，b为不相等的正实数且满足f（a）=f（b），求证a+b＜

4

3

．

Answer 1

考点：反证法

专题：证明题

分析：（1）假设f（m）＜0，f（n）＜0即m³-m²＜0，n³-n²＜0，得mn＜1这与m，n＞1矛盾，从而f（m），f（n）至少有一个不小于零．
（2）证明：由f（a）=f（b）得a³-a²=b³-b²，（a-b）（a²+ab+b²）=（a-b）（a+b），从而（a+b）²-（a+b）=ab＜(

a+b

2

)2，进而a+b＜

4

3

．

解答： 解：（1）证明：假设f（m）＜0，f（n）＜0
即m³-m²＜0，n³-n²＜0
∵m＞0，n＞0
∴m-1＜0    n-1＜0
∴0＜m＜1，0＜n＜1，
∴mn＜1这与m，n＞1矛盾
∴假设不成立，即f（m），f（n）至少有一个不小于零．
（2）证明：由f（a）=f（b）得a³-a²=b³-b²，
∴a³-b³=a²-b²
∴（a-b）（a²+ab+b²）=（a-b）（a+b）
∵a≠b∴a²+ab+b²=a+b，
∴（a+b）²-（a+b）=ab＜(

a+b

2

)2
∴

3

4

(a+b)2-(a+b)＜0，
∴a+b＜

4

3

点评：本题考察了不等式的证明，考察了反证法的证明问题，是一道中档题．