Question

2014年男足世界杯在巴西举行，为了争夺最后一个小组赛参赛名额，甲、乙、丙三支国家队要进行比赛，根据规则：每两支队比赛一场，共赛三场；每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，获得第一名的队伍将夺得这个参赛名额．甲胜乙的概率为

2

3

，甲胜丙的概率为

1

4

，乙胜丙的概率为

1

5

．
（1）求甲获第一名且丙获第二名的概率：
（2）设在该次比赛中，丙得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,互斥事件的概率加法公式,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（1）甲获第一，则甲胜乙且甲胜丙，丙获第二，则丙胜乙，由此能求出甲获第一名且丙获第二名的概率．（2）ξ的可能取值为0，3，6，分别求出相应的概率之后，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）甲获第一，则甲胜乙且甲胜丙，
∴甲获第一的概率为：

2

3

×

1

4

=

1

6

，
丙获第二，则丙胜乙，其概率为1-

1

5

=

4

5

，
∴甲获第一名且丙获第二名的概率p=

1

6

×

4

5

=

2

15

．
（2）ξ的可能取值为0，3，6，
甲两场比赛全输的概率为：
P（ξ=0）=（1-

2

3

）（1-

1

4

）=

1

4

；
甲两场比赛只胜一场的概率为：
P（ξ=3）=

2

3

(1-

1

4

)+

1

4

(1-

2

3

)=

7

12

；
甲两场全胜的概率：
P（ξ=6）=

2

3

×

1

4

=

1

6

．
∴ξ的分布列为：

ξ	0	3	6
P	1 4	7 12	1 6

Eξ=0×

1

4

+3×

7

12

+6×

1

6

=

11

4

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．