Question

已知函数f（x）=e^x-ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为-1．
（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的极值
（Ⅱ）证明：当x＞0时，x²＜e^x．
（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c，总存在x₀，使得当x∈（x₀，+∞），恒有x²＜ce^x．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义求得a，再利用导数的符号变化可求得函数的极值；
（Ⅱ）构造函数g（x）=e^x-x²，求出导数，利用（Ⅰ）问结论可得到函数的符号，从而判断g（x）的单调性，即可得出结论；
（Ⅲ）令x₀=

4

c

，利用（Ⅱ）的结论，即得结论成立．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=e^x-ax得f′（x）=e^x-a．
又f′（0）=1-a=-1，∴a=2，
∴f（x）=e^x-2x，f′（x）=e^x-2．
由f′（x）=0得x=ln2，
当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=e^ln2-2ln2=2-ln4．
f（x）无极大值．
（Ⅱ）令g（x）=e^x-x²，则g′（x）=e^x-2x，
由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=e^ln2-2ln2=2-ln4＞0，即g′（x）＞0，
∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x²＜e^x；
（ III）对任意给定的正数c，取x₀=

4

c

＞0，
由（ II）知，当x＞0时，e^x＞x²，
∴ex=e

x

2

•e

x

2

＞(

x

2

)2•(

x

2

)2，
当x＞x₀时，ex=e

x

2

•e

x

2

＞(

x

2

)2•(

x

2

)2＞

4

c

•(

x

2

)2=

x2

c

，
因此，对任意给定的正数c，总存在x₀，当x∈（x₀，+∞）时，恒有x²＜ce^x．

点评：本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、综合性较强，难度较大．