Question

已知函数f（x）=2（sinx-cosx）•cosx+1，求此函数在[

π

8

，

3π

4

]上的单调区间和最值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：利用三角函数中的恒等变换可求得f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），利用正弦函数的单调性与最值即可求得此函数在[

π

8

，

3π

4

]上的单调区间和最值．

解答： 解：f（x）=2（sinx-cosx）•cosx+1
=sin2x-（1+cos2x）+1
=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

），
∵x∈[

π

8

，

3π

4

]，
∴2x-

π

4

∈[0，

5π

4

]，
由0≤2x-

π

4

≤

π

2

，得

π

8

≤x≤

3π

8

，即此函数在[

π

8

，

3π

8

]上单调递增；
由

π

2

≤2x-

π

4

≤

5π

4

，得

3π

8

≤x≤

3π

4

，即此函数在[

3π

8

，

3π

4

]上单调递减；
f（x）_min=f（

3π

4

）=-1，f（x）_max=f（

3π

8

）=

2

．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．