Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=-a_n-（

1

2

）^n-1+2（n为正整数）．
（Ⅰ）令b_n=2ⁿa_n，求证数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n=

n+1

n

a_n，T_n=c₁+c₂+…+c_n，求证：1≤T_n≤3．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出2nan=2n-1an-1+1，由bn=2nan，得b_n=b_n-1+1，所以数列{b_n}是等差数列，并能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由cn=

n+1

n

an=（n+1）（

1

2

）ⁿ，利用错位相减法得Tn=3-

n+3

2n

，由此能证明1≤T_n≤3．

解答： （1）解：在Sn=-an-(

1

2

)n-1+2中，
令n=1，得S₁=-a₁-1+2=a₁，解得a₁=

1

2

，
当n≥2时，S_n-1=-a_n-1-（

1

2

）^n-2+2，
∴an=Sn-Sn-1=-an+an-1+(

1

2

)n-1，
∴2an=an-1+(

1

2

)n-1，即2nan=2n-1an-1+1，
∵bn=2nan，∴b_n=b_n-1+1，
即当n≥2时，b_n-b_n-1=1，
又b₁=2a₁=1，
∴数列{b_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴bn=2nan=1-（n-1）×1=n，
∴an=

n

2n

．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得cn=

n+1

n

an=（n+1）（

1

2

）ⁿ，
∴Tn=2×

1

2

+3×(

1

2

)2+…+(n+1)×(

1

2

)n，

1

2

Tn=2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+(n+1)×(

1

2

)n+1，
两式相减，得：

1

2

Tn=1+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-(n+1)(

1

2

)n+1
=1+

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-（n+1）（

1

2

）ⁿ⁺¹
=

3

2

-

n+3

2n+1

，
∴Tn=3-

n+3

2n

，
∵

n+3

2n

＞0，∴Tn=3-

n+3

2n

＜3，
又Tn+1-Tn=

n+2

2n+1

＞0，
∴T_n是关于n的增函数，
∴T_n＞T₁=1，∴1≤T_n≤3．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．