Question

如图，F₁、F₂是椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点，点M在x轴上，且＝，过点F₂的直线与椭圆交于A、B两点，且AM⊥x轴，·＝0.

(1)求椭圆的离心率；
(2)若△ABF₁的周长为，求椭圆的方程．

Answer 1

（1）（2）＝1.

(1)设F₁(－c，0)，F₂(c，0)，A(x₀，y₀)，椭圆的离心率为e，则M，x₀＝c.
∵＝e，∴|AF₁|＝a＋ex₀.同理，|AF₂|＝a－ex₀.
∵·＝0，∴AF₁⊥AF₂，∴|AF₁|²＋|AF₂|²＝|F₁F₂|²，
∴(a＋ex₀)²＋(a－ex₀)²＝4c^2,即a²＋e²＝2c².
∵x₀＝c，∴a²＋e²·c²＝2c^2,∴1＋e⁴＝2e²，即3e⁴－8e²＋4＝0，
∴e²＝或2(舍)，∴椭圆的离心率e＝.
(2)∵△ABF₂的周长为4，∴4a＝4，∴a＝.又＝，∴c＝2,∴b²＝2.
∴椭圆方程为＝1.