Question

14．关于函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$），有下列说法
（1）y=f（x）的最大值为$\sqrt{2}$；
（2）y=f（x）是以π为最小正周期的函数；
（3）y=f（x）在区间（$\frac{π}{24}$，$\frac{13π}{24}$）上单调递减；
（4）将函数y=$\sqrt{2}$cos2x的图象向左平移$\frac{π}{24}$个单位后，将与已知函数的图象重合．
其中正确说法的序号是（1）（2）（3）．

Answer 1

分析 由三角函数公式化简可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{5π}{12}$），由三角函数的性质逐个选项验证可得．

解答 解：化简可得f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）
=cos（2x+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{2}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$）
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{5π}{12}$）
∴函数f（x）的最大值为$\sqrt{2}$，（1）正确；
函数的周期T=$\frac{2π}{2}$=π，（2）正确；
由2kπ+$\frac{π}{2}$＜2x+$\frac{5π}{12}$＜2kπ+$\frac{3π}{2}$可得kπ+$\frac{π}{24}$＜x＜kπ+$\frac{13π}{12}$，
当k=0时可得函数y=f（x）在区间（$\frac{π}{24}$，$\frac{13π}{24}$）上单调递减，（3）正确；
（4）y=$\sqrt{2}$cos2x的图象向左平移$\frac{π}{24}$个单位后，可得y=$\sqrt{2}$cos2（x+$\frac{π}{24}$）
=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{12}$）≠$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{5π}{12}$），错误；
综上可知（1）（2）（3）正确，
故答案为：（1）（2）（3）．

点评 本题考查三角函数的图象和性质，涉及两角和与差的三角函数公式和诱导公式，属中档题．