【题目】【2017江西4月质检】已知椭圆的离心率为,且过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点且斜率大于0的直线与椭圆相交于点,,直线,与轴相交于,两点,求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(1)运用椭圆的离心率公式的关系,以及点在椭圆上,列出方程;(2)设直线的方程为,联立椭圆方程,消去得,由判别式大于零,运用韦达定理,再将表示为关于的函数式,分离常数,进而可得结果.
试题解析:(1)椭圆的离心率为,所以,
过点,则,
椭圆的方程为.
(2)设直线的方程为,,,
直线的方程为,可得,即,
直线的方程为,可得,即.
联立,消去,整理得.
由,可得,,,
,
,
,
因为,,所以,因此,即,
的取值范围是.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求范围问题,属于难题.解决圆锥曲线中的范围问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中范围问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法,本题(2)就是用的这种思路,单调性法求的范围的.
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【题目】给出下列四个命题:
①已知M={(x,y)| =3},N={(x,y)|ax+2y+a=0}且M∩N=,则a=﹣6;
②已知点A(x1 , y1),B(x2 , y2),则以AB为直径的圆的方程是(x﹣x1)(x﹣x2)+(y﹣y1)(y﹣y2)=0;
③ =1(a≠b)表示焦点在x轴上的椭圆;
④已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1 , y2),B(x2 , y2),则 =﹣4
其中的真命题是 . (把你认为是真命题的序号都填上)
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【题目】已知椭圆过点,且的离心率为.
(1)求的方程;
(2)过的顶点作两条互相垂直的直线与椭圆分别相交于两点.若的角平分线方程为,求的面积及直线的方程.
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【题目】下列各组函数表示相同函数的是( )
A.f(x)= ,g(x)=( )2
B.f(x)=1,g(x)=x2
C.f(x)= ,g(t)=|t|
D.f(x)=x+1,g(x)=
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【题目】定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x1 , x2∈R(x1≠x2),有 <0,则( )
A.f(3)<f(﹣2)<f(1)
B.f(1)<f(﹣2)<f(3)
C.f(﹣2)<f(1)<f(3)
D.f(3)<f(1)<f(﹣2)
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【题目】已知函数f(x)=tx,(x∈R).
(1)若t=ax+b,a,b∈R,且﹣1≤f(﹣1)≤2,2≤f(1)≤4,求点(a,b)的集合表示的平面区域的面积;
(2)若t=2+ ,(x<1且x≠0),求函数f(x)的最大值;
(3)若t=x﹣a﹣3(a∈R),不等式b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤f(x)≤a+4(b,c∈R)的解集为[﹣1,5],求b,c的值.
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【题目】【2017福建三明5月质检】已知椭圆的右焦点,椭圆的左,右顶点分别为.过点的直线与椭圆交于两点,且的面积是的面积的3倍.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若与轴垂直,是椭圆上位于直线两侧的动点,且满足,试问直线的斜率是否为定值,请说明理由.
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【题目】【2017江西上饶联考】某种药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕,基地员工一天可以完成一处种植区的采摘,由于下雨会影响药材的收益,若基地收益如下表所示:已知下周一和下周二无雨的概率相同且为,两天是否下雨互不影响,若两天都下雨的概率为
(1)求及基地的预期收益;
(2)若该基地额外聘请工人,可在周一当天完成全部采摘任务,若周一无雨时收益为万元,有雨时收益为万元,且额外聘请工人的成本为元,问该基地是否应该额外聘请工人,请说明理由.
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【题目】为了增强环保意识,我校从男生中随机抽取了60人,从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试,统计数据如下表所示:
优秀 | 非优秀 | 总计 | |
男生 | 40 | 20 | 60 |
女生 | 20 | 30 | 50 |
总计 | 60 | 50 | 110 |
(1)试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关;
(2)为参加市里举办的环保知识竞赛,学校举办预选赛,已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为 ,现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛,若随机变量X表示这3人中通过预选赛的人数,求X的分布列与数学期望.
附:K2=
P(K2≥k) | 0.500 | 0.400 | 0.100 | 0.010 | 0.001 |
k | 0.455 | 0.708 | 2.706 | 6.635 | 10.828 |
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