Question

若f（x）=2sin（ωx+Φ）+m，对任意实数t都有f(t+

π

4

)=f(-t)，且f(

π

8

)=-1，则实数m的值等于

 

．

Answer 1

考点：正弦函数的对称性

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：由f（t+

π

4

）=f（-t）⇒f（t）=f（

π

4

-t）⇒f（x）=2sin（ωx+Φ）+m的图象关于直线x=

π

8

对称，从而可求得实数m的值．

解答： 解：∵f（t+

π

4

）=f（-t），
用-t替换上式中的t，得f（t）=f（

π

4

-t），
∴f（x）=2sin（ωx+Φ）+m的图象关于直线x=

π

8

对称，
∴y=f（x）在对称轴x=

π

8

处取到最值，
∵f（

π

8

）=-1，
∴2+m=-1或-2+m=-1，
解得：m=-3或m=1，
故答案为：-3或1．

点评：本题考查正弦函数的对称性，求得f（x）=2sin（ωx+Φ）+m的图象关于直线x=

π

8

对称是关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题．