Question

记数列a₁，a₂，…，a_n为A，其中a_i∈{0，1}，i=1，2，3，…，n．定义变换f，f将A中的1变为1，0；0变为0，1．设A1=f(A)，Ak+1=f(Ak)，k∈N*；例如A：0，1，则A₁=f（A）：0，1，1，0．
（1）若n=3，则A₂中的项数为

 

；
（2）设A为1，0，1，记A_k中相邻两项都是0的数对个数为b_k，则b_k关于k的表达式为

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用变换f的定义易求；
（2）设A_k中有l_k个10数对，A_k+1中的00数对只能由A_k中的10数对得到，从而有b_k+1=l_k，A_k+1中的10数对有两个产生途径：①由A_k中的1得到； ②由A_k中00得到，由变换f的定义及A：1，0，1可得A_k中0和1的个数总相等，且共有3×2^k个，从而可得A_k+1中的10数对的个数l_k+1=b_k+3×2^k-1，则b_k+2=b_k+3×2^k-1，分k为奇数、偶数讨论，用累加法可得答案；

解答： 解：（1）由变换f的定义知，当n=3时，A₁有6项，A₂中的项数为12，
（2）设A_k中有l_k个10数对，A_k+1中的00数对只能由A_k中的10数对得到，
∴b_k+1=l_k，A_k+1中的10数对有两个产生途径：①由A_k中的1得到； ②由A_k中00得到，
由变换f的定义及A：1，0，1可得A_k中0和1的个数总相等，且共有3×2^k个，
∴l_k+1=b_k+3×2^k-1，
∴b_k+2=b_k+3×2^k-1，
由A：1，0，1可得A₁：1，0，0，1，1，0；A₂：1，0，0，1，0，1，1，0，1，0，0，1，
∴b₁=1，b₂=2，
当k≥3时，
若k为偶数，b_k=b_k-2+3×2^k-3，b_k-2=b_k-4+3×2^k-5，…b₄=b₂+3×2．
上述各式相加可得b_k=2+3×2+3×2³+…+3×2^k-3=2+3×

2(1-4 k-2 2 )

1-4

=2^k-1，
经检验，k=2时，也满足b_k=2^k-1．
若k为奇数，b_k=b_k-2+3×2^k-3，b_k-2=b_k-4+3×2^k-5，…，b₃=b₁+3×2⁰，
上述各式相加可得b_k=1+3×1+3×2²+3×2⁴+…+3×2^k-3=1+3×

1-4 k-1 2

1-4

=2^k-1，
经检验，k=1时，也满足b_k=2^k-1．
综上，b_k=2^k-1．
故答案为：（1）12；（2）b_k=2^k-1．

点评：本题主要考查了数列的概念及简单表示法，以及数列的求和，同时考查了分类讨论的思想，难度较大，对能力要求较高．