Question

已知函数y=a^x+2-2的图象过的定点在函数y=-

n

m

x-

1

m

的图象上，其中m，n为正数，则

1

m

+

1

n

的最小值是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：当x=-2时，y=a⁰-2=-1，可得函数y=a^x+2-2的图象过的定点（-2，-1）．把（-2，-1）代入函数y=-

n

m

x-

1

m

可得m+n=1．再利用“乘1法”和基本不等式即可得出．

解答： 解：当x=-2时，y=a⁰-2=-1，∴函数y=a^x+2-2的图象过的定点（-2，-1）．
把（-2，-1）代入函数y=-

n

m

x-

1

m

可得-1=

2n

m

-

1

m

，化为m+2n=1．
又∵m，n为正数，∴

1

m

+

1

n

=（m+2n）(

1

m

+

1

n

)=3+

2n

m

+

m

n

≥3+2

2n m • m n

=3+2

2

，
当且仅当m=

2

n=

2

-1取等号．
∴

1

m

+

1

n

的最小值是3+2

2

．
故答案为：3+2

2

．

点评：本题考查了指数函数的性质、“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．