【题目】【2017福建三明5月质检】已知函数,
.
(Ⅰ)当时,求证:过点
有三条直线与曲线
相切;
(Ⅱ)当时,
,求实数
的取值范围.
【答案】(I)详见解析;(II).
【解析】
解法一:(Ⅰ)当时,
,
设直线与曲线相切,其切点为
,
则曲线在点
处的切线方程为:
,
因为切线过点,所以
,
即
,
∵,∴
,
设,
∵,
,
,
∴在三个区间
上至少各有一个根
又因为一元三次方程至多有三个根,所以方程恰有三个根,
故过点有三条直线与曲线
相切.
(Ⅱ)∵当时,
,即当
时,
∴当时,
,
设,则
,
设,则
.
(1)当时,∵
,∴
,从而
(当且仅当
时,等号成立)
∴在
上单调递增,
又∵,∴当
时,
,从而当
时,
,
∴在
上单调递减,又∵
,
从而当时,
,即
于是当时,
.
(2)当时,令
,得
,∴
,
故当时,
,
∴在
上单调递减,
又∵,∴当
时,
,
从而当时,
,
∴在
上单调递增,又∵
,
从而当时,
,即
于是当时,
,
综合得的取值范围为
.
解法二:(Ⅰ)当时,
,
,
设直线与曲线相切,其切点为
,
则曲线在点
处的切线方程为
,
因为切线过点,所以
,
即
,
∵,∴
设,则
,令
得
当变化时,
,
变化情况如下表:
+ | 0 | - | 0 | + | |
↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
∴恰有三个根,
故过点有三条直线与曲线
相切.
(Ⅱ)同解法一.
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【题目】已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC.
(1)若a=b,求cosB的值;
(2)若B=60°,△ABC的面积为4 ,求b的值.
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【题目】已知函数f(x)=|x﹣3|﹣|x﹣a|.
(1)当a=2时,解不等式f(x)≤﹣ ;
(2)若存在实数x,使得不等式f(x)≥a成立,求实数a的取值范围.
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【题目】已知数列{an},{bn},Sn为数列{an}的前n项和,向量 =(1,bn),
=(an﹣1,Sn),
∥
.
(1)若bn=2,求数列{an}通项公式;
(2)若bn= ,a2=0.
①证明:数列{an}为等差数列;
②设数列{cn}满足cn= ,问是否存在正整数l,m(l<m,且l≠2,m≠2),使得cl、c2、cm成等比数列,若存在,求出l、m的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知定义在R上的函数y=f(x)对任意的x都满足f(x+1)=﹣f(x),当﹣1≤x<1时,f(x)=x3 , 若函数g(x)=f(x)﹣loga|x|至少6个零点,则a取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】下列命题错误的是( )
A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
B.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β
C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ
D.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
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