【题目】下列命题错误的是( )
A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
B.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β
C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ
D.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
【答案】A
【解析】解:A、如图,平面α⊥平面β,α∩β=l,lα,l不垂直于平面β,所以不正确;
B、如A中的图,平面α⊥平面β,α∩β=l,aα,若a∥l,则a∥β,所以正确;
C、如图,
设α∩γ=a,β∩γ=b,在γ内直线a、b外任取一点O,作OA⊥a,交点为A,因为平面α⊥平面γ,
所以OA⊥α,所以OA⊥l,作OB⊥b,交点为B,因为平面β⊥平面γ,所以OB⊥β,所以OB⊥l,又OA∩OB=O,
所以l⊥γ.所以正确.
D、若平面α内存在直线垂直于平面β,根据面面垂直的判定,则有平面α垂直于平面β,与平面α不垂直于平面β矛盾,所以,如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β,正确;
故选:A.
【考点精析】通过灵活运用平面与平面之间的位置关系,掌握两个平面平行没有交点;两个平面相交有一条公共直线即可以解答此题.
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【题目】已知△ABC的三内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,△ABC的面积S= 且sinA=
.
(1)求sinB;
(2)若边c=5,求△ABC的面积S.
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【题目】在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (其中α为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ.
(1)若A,B为曲线C1 , C2的公共点,求直线AB的斜率;
(2)若A,B分别为曲线C1 , C2上的动点,当|AB|取最大值时,求△AOB的面积.
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【题目】已知甲、乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中位数相同,平均数也相同,
(1)求m,n的取值.
(2)比较甲、乙两组数据的稳定性,并说明理由.
注:方差公式s2= .
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【题目】下列命题中,真命题的是( )
A.已知f(x)=sin2x+ ,则f(x)的最小值是2
B.已知数列{an}的通项公式为an=n+ ,则{an}的最小项为2
C.已知实数x,y满足x+y=2,则xy的最大值是1
D.已知实数x,y满足xy=1,则x+y的最小值是2
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【题目】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,延长A1C1至点P,使C1P=A1C1 , 连接AP交棱CC1于点D.以A1为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示.
(1)写出A1、B、B1、C、D、P的坐标;
(2)求异面直线A1B与PB1所成角的余弦值.
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【题目】如图,AB为圆O的直径,点E、F在圆O上,AB∥EF,矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直.已知AB=2,EF=1.
(Ⅰ)求证:平面DAF⊥平面CBF;
(Ⅱ)求直线AB与平面CBF所成角的大小;
(Ⅲ)当AD的长为何值时,平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°?
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【题目】某校从高一年级学生中随机抽取50名学生,将他们的期中考试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:[40,50),[50,60),…,[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.
(1)若该校高一年级共有学生1000人,试估计成绩不低于60分的人数;
(2)为了帮助学生提高数学成绩,学校决定在随机抽取的50名学生中成立“二帮一”小组,即从成绩[90,100]中选两位同学,共同帮助[40,50)中的某一位同学.已知甲同学的成绩为42分,乙同学的成绩为95分,求甲、乙恰好被安排在同一小组的概率.
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