Question

【题目】已知函数.

（1）若是函数的一个极值点，试讨论的单调性；

（2）若在R上有且仅有一个零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）.

【解析】

（1）根据极值点处导数为零，计算出参数以及，再对求导，对参数进行分类讨论，从而求得该函数的单调区间；

（2）分离参数，构造函数，通过讨论构造的函数的单调性求得值域，即可求得参数的取值范围.

（1），

因为是函数的一个极值点，

则，所以，

则，

当，

当时，恒成立，

在上单调递减，

当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减.

综上所述：

当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）在上有且仅有一个零点，

即方程有唯一的解，令，

可得，

由，

得或，

（1）当时，，所以在上单调递减，

所以，所以的取值范围为.

（2）当时，，所以在上单调递增，

所以，即，

故的取值范围为.

（3）当时，，所以在上单调递减，

所以，即，

即的取值范围为.

所以，当或，

即或时，在上有且只有一个零点，

故的取值范围为.