Question

13．函数y=（sin x-2）（cos x-2）的最大值是$\frac{9}{2}$+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，利用同角三角的基本关系，二次函数的性质，求得y的最大值．

解答 解：函数y=（sin x-2）（cos x-2）=sinxcosx-2（sinx+cosx）+4，
令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
则t²=1+2sinxcosx，sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∴y=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$-2t+4=$\frac{1}{2}$（t²-4t+4）+2=$\frac{1}{2}$•（t-2）²+2，
故当t=-$\sqrt{2}$时，函数y取得最大值 $\frac{9}{2}$+2$\sqrt{2}$，
故答案为：$\frac{9}{2}$+2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查同角三角的基本关系，二次函数的性质的应用，属于中档题．