【题目】已知三棱锥,底面
为边长为2的正三角形,侧棱
,
(1)求证:;
(2)求点到平面
的距离.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】分析:(1)取AC的中点为O,由题意可证得SO⊥AC,OB⊥AC,由线面垂直的判断定理可得AC⊥平面SOB,则AC⊥SB;
(2)由(1)可知△ASC为直角三角形,由几何关系可证得SO⊥平面ABC,转化顶点利用体积相等可求得求点到平面
的距离为
.
详解:(1)取AC的中点为O,∵SA=SC∴SO⊥AC AB=BC,∴OB⊥AC,
又∵SO与OB相交于O,OS平面SOB OB平面SOB,
∴AC⊥平面SOB 又∵SB平面SOB,
∴AC⊥SB;
(2)由(1)可知,SA=SC=,AC=2,∴△ASC为Rt△,
∴SO=1 在正三角形ABC中,OB= , SB=2 , SO2+OB2=SB2,
∴SO⊥OB∴SO⊥平面ABC,
VS﹣ABC=,
S△SBC=,
∵VS﹣ABC=VA﹣SBC ,h=
.
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【题目】已知函数的定义域为
,且对任意的
有
. 当
时,
,
.
(1)求并证明
的奇偶性;
(2)判断的单调性并证明;
(3)求;若
对任意
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,且PA=PD=DA=2,∠BAD=60°
(I)求证:PB⊥AD;
(II)若PB= , 求二面角A﹣PD﹣C的余弦值.
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【题目】经观测,某昆虫的产卵数y与温度x有关,现将收集到的温度xi和产卵数yi(i=1,2,…,10)的10组观测数据作了初步处理,得到如下图的散点图及一些统计量表.
表中 ,
(1)根据散点图判断, ,
与
哪一个适宜作为y与x之间的回归方程模型?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据.
①试求y关于x回归方程;
②已知用人工培养该昆虫的成本h(x)与温度x和产卵数y的关系为h(x)=x(lny﹣2.4)+170,当温度x(x取整数)为何值时,培养成本的预报值最小?
附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…(un,vn),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=,α=
﹣β
.
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【题目】已知△ABC的内角A,B,C满足sin2A+sin(A﹣B+C)=sin(C﹣A﹣B)+ ,面积S满足1≤S≤2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,在下列不等式一定成立的是( )
A.bc(b+c)>8
B.ab(a+b)>16
C.6≤abc≤12
D.12≤abc≤24
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【题目】以直角坐标系的原点为极点,
轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线
的参数方程为
,(
为参数,
),曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)设直线与曲线
相交于
,
两点,当
变化时,求
的最小值.
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【题目】假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为,且各引擎是否有故障是独立的,已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行,飞机就可成功飞行;2引擎飞机要2个引擎全部正常运行,飞机也可成功飞行,要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全,则
的取值范围是( )
A. B.
C.
D.
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【题目】定义在上的函数
,如果满足:对任意
,存在常数
,都有
成立,则称
是
上的有界函数,其中
称为函数
的一个上界.已知函数
,
.
(1)若函数为奇函数,求实数
的值;
(2)在(1)的条件下,求函数在区间
上的所有上界构成的集合;
(3)若函数在
上是以3为上界的有界函数,求实数
的取值范围.
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