Question

【题目】已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+ ，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（ ）
A.bc（b+c）＞8
B.ab（a+b）＞16
C.6≤abc≤12
D.12≤abc≤24

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+ ，
∴sin2A+sin2B=﹣sin2C+ ，
∴sin2A+sin2B+sin2C= ，
∴2sinAcosA+2sin（B+C）cos（B﹣C）= ，
2sinA（cos（B﹣C）﹣cos（B+C））= ，
化为2sinA[﹣2sinBsin（﹣C）]= ，
∴sinAsinBsinC= ．
设外接圆的半径为R，
由正弦定理可得： =2R，
由S= ，及正弦定理得sinAsinBsinC= = ，
即R2=4S，
∵面积S满足1≤S≤2，
∴4≤R2≤8，即2≤R≤2 ，
由sinAsinBsinC= 可得 ，显然选项C，D不一定正确，
A．bc（b+c）＞abc≥8，即bc（b+c）＞8，正确，
B．ab（a+b）＞abc≥8，即ab（a+b）＞8，但ab（a+b）＞16 ，不一定正确，
故选：A
【考点精析】关于本题考查的二倍角的正弦公式，需要了解二倍角的正弦公式：才能得出正确答案．