Question

【题目】设函数f（x）= ，（a＞0，b∈R）
（1）当x≠0时，求证：f（x）=f（ ）；
（2）若函数y=f（x），x∈[ ，2]的值域为[5，6]，求f（x）；
（3）在（2）条件下，讨论函数g（x）=f（2x）﹣k（k∈R）的零点个数．

Answer 1

【答案】
（1）证明： ；

∴

（2）解： ， ；

∵ ，a＞0；

∴ 时，f′（x）＜0，x∈（1，2]时，f′（x）＞0；

∴x=1时f（x）取最小值6，即2a+b=5；

∴f（ ）=6，或f（2）=6；

∴ ；

解得a=2，b=1；

∴

（3）解：g（x）=2（2x+2﹣x）+1﹣k；

y=2x为增函数；

∴由（2）知，2x＜1，即x＜0时，g（x）单调递减，x＞0时，g（x）单调递增；

∴x=0时，g（x）取到最小值5﹣k，x趋向正无穷和负无穷时，g（x）都趋向正无穷；

∴①5﹣k＜0，即k＞5时，g（x）有两个零点；

②5﹣k=0，即k=5时，g（x）有一个零点；

③5﹣k＞0，即k＜5时，g（x）没有零点

【解析】（1）把f（x）中的x换上 便可求出 ，整理之后便可得出f（x）= ；（2）将f（x）变成 ，求导数，判断导数符号：x∈[ ,1）时，f′（x）＜0，x∈（1，2]时，f′（x）＞0，从而得出x=1时f（x）取到最小值5，并且f（ ）=f（2）=6，从而得到 ，这样即可解出a=2，b=1，从而得出f（x）= ；（3）先求出g（x）=2（2x+2﹣x）+1﹣k，根据（2）便可判断g（x）的单调性，从而得出g（x）最小值为5﹣k，这样讨论5﹣k和0的关系即可得出g（x）零点的情况．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的值域的相关知识，掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的．