Question

已知数列{a_n}，a₁=3，a_n+1=4a_n-3
（Ⅰ）设b_n=1og₂（a_n-1），求数列{b_n}的前n项和S_n
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵a_n+1=4a_n-3，∴a_n+1-1=4（a_n-1）
∵a₁=3，∴a₁-1=2，
∴{a_n-1}是以2为首项，4为公比的等比数列
∴a_n-1=2×4^n-1=2^2n-1，
∵b_n=1og₂（a_n-1），∴b_n=2n-1，
∴数列{b_n}是以1为首项，2为公差的等差数列
∴S_n==n²；
（Ⅱ）证明：=＞
==1-=
∴．
分析：（Ⅰ）利用数列递推式，可得{a_n-1}是以2为首项，4为公比的等比数列，进而利用b_n=1og₂（a_n-1），可得数列{b_n}是以1为首项，2为公差的等差数列，由此可求数列{b_n}的前n项和S_n
（Ⅱ）先放缩，再利用裂项法，即可证得结论．
点评：本题考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．