Question

已知函数f（x）=x³+a•x²+bx+c的图象上的一点M（1，m）处的切线的方程为y=2，其中a，b，c∈R．
（1）若a=-3，求f（x）的解析式，并表示成f（x）=（x+t）³+k，（t，k为常数）；
（2）问函数y=f（x）是否有单调减区间，若存在，求单调减区间（用a表示），若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出函数在x=1处的导数，得到切线的斜率，建立一等式，再根据切点在函数图象上，建立另一等式，解方程组即可求出所求；
（2）先求导函数，然后f′（x）=0，讨论两根的大小，将a分为三种情形，再分别求出对应的单调减区间．

解答：（本小题满分12分）
解：（1）f′（x）=3x²+2a•x+b⇒f′（1）=3+2a+b=0
由∵m=2⇒f（1）=1+a+b+c=2∵a=-3⇒b=3，c=1，f（x）=x³-3x²+3x+1=（x-1）³+2…（4分）
（2）f′（x）=3x²+2a•x+b由（1）知b=-2a-3
所以 f′(x) =3x2+2a•x-(2a+3)=3(x+

2a+3

3

)•(x-1)…（6分）
令f′(x) =0⇒x=-

2a+3

3

，x=1…（8分）
当-

2a+3

3

=1?a=-3即f′（x）=3（x-1）²≥0
∵f（x）为R上为增函数，所以函数没有单调减区间；          …（9分）
当-

2a+3

3

＞1?a＜-3时，可以判定f（x）单调减区间为(1，-

2a+3

3

)…（10分）
当-

2+3a

3

＜1?a＞-3时，可以判定f（x）单调减区间为(-

2a+3

3

，1)…（11分）
综上：a=-3，函数没有单调减区间；a＜-3，f（x）单调减区间为(1，-

2a+3

3

)；
a＞-3，f（x）单调减区间为(-

2a+3

3

，1)．…（12分）

点评：本题主要考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．