Question

已知函数f(x)=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

+

1

2

．
（1）求f（x）的周期和及其图象的对称中心；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

Answer 1

（1）由f(x)=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

+1=sin(

x

2

+

π

6

)+1，∴f（x）的周期为4π．
由sin(

x

2

+

π

6

)=0，得x=2kπ-

π

3

，故f（x）图象的对称中心为(2kπ-

π

3

，1)，k∈Z．
（2）由（2a-c）cosB=bcosC，得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB-cosBsinC=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C），∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，B=

π

3

，0＜A＜

2π

3

．∴

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

，

1

2

＜sin(

A

2

+

π

6

)＜1，
故函数f（A）的取值范围是(

3

2

，2)．