Question

已知函数f(x)=4cosxsin(x+

π

6

)-1．
（1）求f（x）的最小正周期：
（2）已知p：θ＞

π

4

，q：函数g(x)=(θ+1)x在R上为增函数，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求f（θ）的值域．

Answer 1

（Ⅰ）因为f(x)=4cosxsin(x+

π

6

)-1
=4cosx（

3

2

sinx+

1

2

cosx）-1
=2

3

sinxcosx+2cos2x-1
=

3

sin2x+cos2x
=2sin（2x+

π

6

）…（4分）
所以f（x）的最小正周期为π…（6分）
（Ⅱ）由题意可得q：θ+1＞1
即q：θ＞0
由p∧q为假命题，p∨q为真命题，得P和q为一真一假命题…（8分）
（1）p为真命题，q为假命题

θ＞ π 4 θ≤0

，此时θ不存在
（2）p为假命题，q为真命题

θ≤ π 4 θ＞0

即0＜θ≤

π

4

，…（11分）
则

π

6

＜2θ+

π

6

≤

2π

3

于是，当2θ+

π

6

=

π

2

即θ=

π

6

，f（x）有最大值2
当2θ+

π

6

=

π

6

，即θ=0时，f（θ）有最小值1
所以f（θ）的值域为：（1，2]…（14分）