Question

设直线l：y=5x+2是曲线C：f（x）=

1

3

x³-x²+2x+m的一条切线，g（x）=ax²+2x-25
（1）求切点坐标及m的值；
（2）当m∈Z时，存在x∈[0，+∞）使f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数恒成立问题

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）设直线l与曲线C相切于点P（x₀，y₀），利用导数的几何意义可得f′（x₀）=5即可解得切点的横坐标x₀，进而得到切点坐标及m的值；
（Ⅱ）由m∈Z，可得m=13，设h（x）=f（x）-g（x），则存在x∈[0，+∞）使f（x）≤g（x）成立?h（x）_min≤0，利用导数和分类讨论即可得出．

解答： （1）解：设直线l与曲线C相切于点P（x₀，y₀），∵f′（x）=x²-2x+2∴x02-2x0+2=5，解得x₀=-1或x₀=3，
代入直线l方程，得切点P坐标为（-1，-3）或（3，17），
∵切点P在曲线C上，∴m=

1

3

或m=11，
综上可知，切点P（-1，-3），m=

1

3

或者切点P（3，17），m=11．           
（2）∵m∈Z，∴m=11，
设h(x)=f(x)-g(x)=

1

3

x3-(1+a)x2+36，若存在x∈[0，+∞）使f（x）≤g（x）成立，则只要h（x）_min≤0，
h′（x）=x²-2（1+a）x=x[x-2（1+a）]，
①当1+a=0即a=-1时，h′（x）=x²≥0，h（x）是增函数，h（x）_min=36＞0不合题意．               
②若1+a＞0即a＞-1，
令h′（x）＞0，得x＞2（1+a）或x＜0，∴h（x）在（2（1+a），+∞）上是增函数，
令h′（x）≤0，解得0≤x≤2（1+a），∴h（x）在[0，2（1+a）]上是减函数，
∴h（x）_min=h（2（1+a）），
令h（2（1+a））≤0，解得a≥2，
③若1+a＜0即a＜-1，
令h′（x）＞0，解得x＜2（1+a）或x＞0，又∵x∈[0，+∞），
∴h（x）在（0，+∞）上是增函数，∴h（x）_min=h（0），令h（0）≤0，不等式无解，
∴a不存在，
综上可得，实数a的取值范围为[2，+∞）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、导数的几何意义，学会分类讨论．