Question

在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且（2b+c）cosA+acosC=0
（1）求角A的大小：
（2）求2

3

cos²

C

2

-sin（

4π

3

-B）的最大值，并求取得最大值时角B，C的大小．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由条件利用正弦定理化简可得sinB（2cosA+1）=0，求得cosA的值，可得A的值．
（2）由条件求得0＜C＜

π

3

，化简2

3

cos²

C

2

-sin（

4π

3

-B）为

3

+2sin(C+

π

3

)，再利用正弦函数的定义域和值域求得2

3

cos²

C

2

-sin（

4π

3

-B）的最大值，并求取得最大值时角B，C的值．

解答： 解：（1）∵（2b+c）cosA+acosC=0?，
∴2bcosA+ccosA+acosC=0，
再由正弦定理可得 2sinBcosA+sinCcosA+sinAcosC=0，
即2sinBcosA+sin（C+A）=0，
∴sinB（2cosA+1）=0，
在△ABC中，sinB≠0，
∴2cosA+1=0，即cosA=-

1

2

?，
又0＜A＜π，
∴A=

2

3

π．
（2）∵A=

2π

3

，∴B=

π

3

-C，0＜C＜

π

3

．
∵2

3

cos2

C

2

-sin(

4π

3

-B)=2

3

×

1+cosC

2

+sin(

π

3

-B)=

3

+2sin(C+

π

3

)，
∵0＜C＜

π

3

，∴

π

3

＜C+

π

3

＜

2π

3

，
∴当C+

π

3

=

π

2

，2

3

cos2

C

2

-sin(

4π

3

-B)取最大值

3

+2，
此时B=C=

π

6

．

点评：本题主要考查正弦定理、两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．