Question

（1）函数y=a^1-x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0（m，n＞0）上，求

1

m

+

1

n

的最小值；
（2）若正数a，b满足ab=a+b+3，求ab的取值范围．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：常规题型,不等式的解法及应用

分析：（1）本题先由曲线过定点得到点的坐标，再由已知定值求代数式的最小值；（2）先用基本不等式将和转化为积，再利用解不等式的知识求出积的取值范围．

解答： 解：（1）∵y=a^1-x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，∴A（1，1）．
又点A在直线mx+ny-1=0（m＞0，n＞0）上，
∴m+n=1（m＞0，n＞0）．
∴

1

m

+

1

n

=（m+n）•（

1

m

+

1

n

）=2+

n

m

+

m

n

≥2+2=4，
当且仅当m=n=

1

2

时，等号成立，
∴最小值为4．
（2）∵ab=a+b+3，又a，b∈（0，+∞），
∴ab≥2

ab

+3．设

ab

=t＞0，
∴t²-2t-3≥0．
∴t≥3或t≤-1（舍去）．
∴ab的取值范围是[9，+∞）．

点评：本题考查的是基本不等式，解题关键在于利用好题中的条件，（1）是定点的发现和利用，（2）体现了转化化归的数学思想．本题有一定的综合性，但难度不是很大，属于中档题．