Question

已知复数z₁=i(1-i)³,

(1)求|z₁|;

(2)若|z|=1,求|z-z₁|的最大值.

Answer 1

思路解析:(1)求模应求出复数的实部与虚部再利用|a+bi|=得出;

(2)是考查复数几何意义的应用.

解:(1)z₁=i(1-i)³=i(-2i)(1-i)=2(1-i),∴|z₁|=.

(2)|z|=1可看成半径为1圆心为(0,0)的圆,而z₁可看成在坐标系中的点(2,-2),

∴|z-z₁|的最大值可以看成点(2,-2)到圆上点距离的最大值,

由图可知|z-z₁|_max=+1.

变式方法:|z|=1,∴设z=cosθ+isinθ,

|z-z₁|=|cosθ+isinθ-2+2i|=.

当sin(θ-)=-1时,|z-z₁|²取得最大值.

从而得到|z-z₁|的最大值为.

方法归纳  注意此处空半格在设复数的过程中常设为z=a+bi(a、b∈R);在有关的解决轨迹问题中常设z=x+yi从而与解析几何联系起来;当复数的模为1时也可以设为z=cosθ+isinθ用三角函数解决相关最值等.