Question

15．已知函数f（x）=2sin$（ω\;x-\frac{π}{6}$）•cosω$x+\frac{1}{2}$（其中ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ） 求ω的值；
（Ⅱ） 将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．求函数g（x）在[-π，π]上零点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，在另一栋正弦函数的周期性，得出结论．
（Ⅱ）利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得函数g（x）的解析式，再利用正弦函数的零点，求得函数g（x）的零点．

解答 解：（Ⅰ）函数 $f（x）=2sin（ωx-\frac{π}{6}）•cosωx+\frac{1}{2}=\sqrt{3}sinωx•cosωx-{cos^2}ωx+\frac{1}{2}$
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx-\frac{1}{2}cos2ωx=sin（2ωx-\frac{π}{6}）$．
由最小正周期$T=\frac{2π}{2ω}=π$，得ω=1．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）$，将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，
得到图象的解析式$h（x）=sin[2（x+\frac{π}{6}）-\frac{π}{6}]=sin（2x+\frac{π}{6}）$，
将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到$g（x）=sin（x+\frac{π}{6}）$．
由$x+\frac{π}{6}=kπ，k∈Z$，得$x=kπ-\frac{π}{6}$，
故当x∈[-π，π]时，函数g（x）的零点为$-\frac{π}{6}$和$\frac{5π}{6}$．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的周期性，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的零点，属于中档题．