Question

如图，在直三棱柱中，，，是的中点．

（1）求证：平行平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）试问线段上是否存在点，使与成角？若存在，确定点位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）只需证∥；（2）；（3）点为线段中点时，与成角.

试题分析：（Ⅰ）证明：连结，交于点，连结.
由 是直三棱柱，
得 四边形为矩形，为的中点.
又为中点，所以为中位线，
所以 ∥，        
因为 平面，平面，
所以 ∥平面.  
（Ⅱ）由是直三棱柱，且，故两两垂直.
如图建立空间直角坐标系.设，

则.
所以 ， 
设平面的法向量为，则有
所以  取，得.
易知平面的法向量为.
由二面角是锐角，得 .
所以二面角的余弦值为.
（Ⅲ）假设存在满足条件的点.
因为在线段上，，，故可设，其中.
所以 ，.
因为与成角，所以.
即，解得，舍去.        
所以当点为线段中点时，与成角.
点评：二面角的求法是立体几何中的一个难点。我们解决此类问题常用的方法有两种：①综合法，综合法的一般步骤是：一作二说三求。②向量法，运用向量法求二面角应注意的是计算。很多同学都会应用向量法求二面角，但结果往往求不对，出现的问题就是计算错误。